గడియారం ఉపరితలం వృత్తాకారంలో ఉండి, 360° కోణాన్ని
కలిగి ఉంటుంది. దీని ఉపరితలాన్ని ప్రధానంగా 12 భాగాలుగా, ప్రతిభాగాన్ని
తిరిగి 5 ఉపభాగాలుగా విభజించారు. అంటే మొత్తం 60 ఉపభాగాలు (12 × 5 =
60) ఉంటాయి. వీటినే నిమిషాల దూరం (Minute Spaces) అంటారు.
గడియారంలో మూడు ముల్లులు ఉంటాయి. కానీ గంటలు, నిమిషాల ముల్లుల పైనే
ఎక్కువగా ప్రశ్నలు అడుగుతారు. ఈ రెండు ముల్లులు తిరుగుతున్నప్పుడు అవి
ఒకదానిపై ఒకటి వస్తుంటాయి. లంబకోణం; వ్యతిరేక క్రమంలోనూ వస్తాయి. అంటే
రెండు ముల్లుల మధ్య ఉండే కోణం ఆధారంగా ప్రశ్నలు ఉంటాయి.
గంటల ముల్లు: 12 గంటల్లో 360° లు, 1 గంటలో 30° లు తిరుగుతుంది. ఒక నిమిషానికి 
లేదా 0.5° గా తిరుగుతుంది.
నిమిషాల ముల్లు: గంటకు లేదా 60 నిమిషాలకు 360° లు; 1
నిమిషానికి 0° తిరుగుతుంది. నిమిషాల ముల్లు ఒక నిమిషానికి 6° లు తిరిగితే
అదే సమయంలో గంటల ముల్లు తిరుగుతుంది. కాబట్టి
ఒక నిమిషంలో నిమిషాల ముల్లు, గంటల ముల్లు
పై విషయాన్ని నిమిషాల రూపంలో చెబితే, నిమిషాల ముల్లు గంటకు 60 నిమిషాలు
తిరుగుతుంది. అదే సమయంలో గంటల ముల్లు 5 నిమిషాల దూరం కదులుతుంది. నిమిషాల
ముల్లు, గంటల ముల్లు కంటే 55 నిమిషాల దూరం (60 - 5 = 55) ముందుకు
కదులుతుంది.
గంటలు, నిమిషాల ముల్లుల మధ్య 0° కోణం (రెండు మల్లులు ఏకీభవించడం):
ఒక గంటలో రెండు ముల్లులు ఒకదానితో మరొకటి ఒకసారి ఏకీభవిస్తాయి. కానీ 12
గంటల్లో 11 సార్లు మాత్రమే ఏకీభవిస్తాయి. 11 - 12 మధ్యలో లేదా 12 - 1
మధ్యలో ఏకీభవించవు. సరిగ్గా 12 గంటలకు ఏకీభవిస్తాయి. అంటే 1 నుంచి 11 గంటల
మధ్యలో ప్రతీ గంటకోసారి చొప్పున 10 సార్లు, 11 నుంచి 1 వరకు 12 గంటల సమయంలో
ఒకసారి మొత్తం 11 సార్లు ఏకభవిస్తాయి.
గంటలు, నిమిషాల ముల్లుల మధ్య 180° ల కోణం (రెండు ముల్లులు వ్యతిరేక దిశలోకి రావడం): ఒక గంటలో రెండు ముల్లులు ఒకదానితో మరొకటి ఒకసారి వ్యతిరేకంగా వస్తాయి. కానీ 12 గంటల్లో 11 సార్లు మాత్రమే వస్తాయి.
* 5 - 6 మధ్యలో లేదా 6 - 7 మధ్యలో వ్యతిరేకంగా రావు. సరిగ్గా 6 గంటలకు
ఒకదానితో మరొకటి వ్యతిరేక క్రమంలోకి వస్తాయి. అంటే 7 నుంచి 5 వరకు ప్రతీ
గంటకొకసారి చొప్పున 10 సార్లు, 5 నుంచి 7 వరకు 6 గంటల సమయంలో ఒకసారి మొత్తం
11 సార్లు వ్యతిరేక దిశల్లోకి వస్తాయి.
గంటలు, నిమిషాల ముల్లుల మధ్య 90° ల కోణం (రెండు ముల్లులు లంబకోణంలోకి రావడం): ఒక గంటలో రెండు ముల్లులు ఒకదానికొకటి రెండుసార్లు లంబకోణంలోకి వస్తాయి. కానీ 12 గంటల్లో 22 సార్లు మాత్రమే వస్తాయి.
* 4 నుంచి 8 వరకు, 10 నుంచి 2 వరకు ప్రతీ గంటకు 2 సార్లు చొప్పున
లంబకోణంలోకి వస్తాయి. కానీ 2 నుండి 4 మధ్యలో, 8 నుంచి 10 మధ్యలో కేవలం 3
సార్లు చొప్పున లంబకోణంలోకి వస్తాయి.
* గడియారంలోని నిమిషాలు, గంటల ముల్లులు ప్రతి
సూత్రం 1:
i) x - x + 1 గంటల మధ్యలో 2 ముల్లులు x గంటల
మాదిరి ప్రశ్నలు
1. 1 - 2 గంటల మధ్యలో రెండు ముల్లులు ఏ సమయంలో కలుసుకుంటాయి?
సాధన: 1 - 2 గంటల మధ్యలో అంటే x = 1
5(1) × 12/11 ⇒ 60/11 ⇒ 5. 5/11
1 గంట 5. 5/11 నిమిషాల వద్ద రెండు ముల్లులు కలుసుకుంటాయి.
సమాధానం: 1
2. 4 - 5 గంటల మధ్యలో రెండు ముల్లులు ఏ సమయంలో కలుసుకుంటాయి?
సంక్షిప్త పద్ధతిలో సమాధానాన్ని కనుక్కోవడం:
3. కింద ఇచ్చిన గంటల మధ్యలో రెండు ముల్లులు ఏ సమయంలో కలుసుకుంటాయి?
i) 1 - 2 ii) 2 - 3 iii) 3 - 4 iv) 4 - 5 v) 5 - 6
vi) 6 - 7 vii) 7 - 8 viii) 8 - 9 ix) 9 - 10 x) 10 - 11 xi) 11 - 12
సాధన: ఇచ్చిన సమయంలోని మొదటి గంటల స్థానాన్ని
సూత్రం 2:
* x - x + 1 గంటల మధ్యలో 2 ముల్లులు x గంటల 
నిమిషాల వద్ద వ్యతిరేక దిశలోకి వస్తాయి.
a) x విలువ 6 కంటే తక్కువగా ఉంటే 30 కలపాలి.
b) x విలువ 6 లేదా అంతకంటేే ఎక్కువ ఉంటే 30 తీసేయాలి.
4. 1 - 2 గంటల మధ్యలో రెండు ముల్లులు ఏ సమయంలో వ్యతిరేక దిశలోకి వస్తాయి?
సంక్షిప్త పద్ధతిలో సమాధానాన్ని కనుక్కోవడం:
5. కింద ఇచ్చిన గంటల మధ్యలో రెండు ముల్లులు ఏ సమయంలో వ్యతిరేక దిశలోకి వస్తాయి?
i) 1 - 2 ii) 2 - 3 iii) 3 - 4 iv) 4 - 5
v) 5 - 6 vi) 6 - 7 vii) 8 - 9
సాధన: వ్యతిరేక దిశలోకి రావడమంటే 30 నిమిషాల దూరం. అంటే 1 నుంచి 6 స్థానాలు దూరం. కాబట్టి
(12 వచ్చినపుడు 0 గా పరిగణించాలి. ఎందుకంటే ప్రారంభ సమయం కాబట్టి, ఆ తర్వాత 1, 2, 3... ఉంటాయి.) (లేదా)
సూత్రం: 3
x - x + 1 గంటల మధ్యలో 2 ముల్లులు x గంటల 
నిమిషాల వద్ద లంబకోణంలోకి వస్తాయి.
ఒక గంటలో రెండుసార్లు లంబకోణంలోకి వస్తాయి కాబట్టి ఒకసారి 15 కలిపి, మరోసారి తీసేయాలి.
1. 4 - 5 గంటల మధ్యలో రెండు ముల్లులు ఏయే సమయాల్లో ఒకదానితో మరొకటి లంబకోణంలోకి వస్తాయి?
ప్ర: 1 - 2 గంటల మధ్యలో రెండు ముల్లులు ఏయే సమయాల్లో ఒకదానితో మరొకటి లంబకోణంలోకి వస్తాయి?
సాధన: లంబకోణంలోకి రావడమంటే 15 నిమిషాల దూరం. అంటే 1 నుంచి 3 స్థానాల దూరం. కాబట్టి ఒకసారి 3ను కలపాలి.
* మరోసారి 3ను తీసేసి 5. 5/11 తో గుణిస్తే లంబకోణం చేసే రెండు సమయాలు వస్తాయి.