‣ చతురస్ర వైశాల్యం = s2 చ.యూ.
‣ దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = l × b చ.యూ.
‣ వృత్త వైశాల్యం = πr2 చ.యూ.
‣ త్రిభుజ వైశాల్యం = 1/2 × b × h చ.యూ.
లేదా
‣ వృత్తం చతురస్రంలో అంతర్లిఖించి ఉంటే వృత్త, చతురస్ర వైశాల్యాల మధ్య ఉన్న నిష్పత్తి = 11 : 14
‣ చతురస్రం వృత్తంలో అంతర్లిఖించి ఉంటే చతురస్ర, వృత్త వైశాల్యాల మధ్య ఉన్న నిష్పత్తి = 7 : 11
మాదిరి సమస్యలు
1. రెండు వృత్తాల వ్యాసాలు వరుసగా ఒక చతురస్ర భుజం, కర్ణానికి సమానం. అయితే ఆ వృత్తాల్లో చిన్న, పెద్ద వృత్త వైశాల్యాల మధ్య ఉన్న నిష్పత్తి?
1) 1 : 2 2) 1 : 4 3) √2 : √3 4) 1 : √2
సాధన: రెండు వృత్తాల వ్యాసాలు వరుసగా d1, d2 అనుకోండి.
ఒక చతురస్రం భుజం = r అనుకోండి.
ఆ చతురస్ర కర్ణం = √2 r
సమాధానం: 1
2. 3 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక వృత్త పరిధికి, వైశాల్యానికి మధ్య గల నిష్పత్తి?
1) 1 : 3 2) 2 : 3 3) 2 : 9 4) 3 : 2
సాధన: వృత్త వ్యాసార్ధం (r) = 3 సెం.మీ.
వృత్త పరిధి : వైశాల్యం = 2πr : πr2
= 2 : r ⇒ 2 : 3
సమాధానం: 2
3. A వృత్త వ్యాసార్ధం B వృత్త వ్యాసార్ధానికి రెట్టింపు, B వృత్త వ్యాసార్ధం C వృత్త వ్యాసార్ధానికి రెట్టింపు ఉంది. అయితే వాటి వైశాల్యాల నిష్పత్తి ఎంత?
1) 1 : 4 : 16 2) 4 : 2 : 1 3) 1 : 2 : 4 4) 16 : 4 : 1
సాధన: A, B వృత్త వ్యాసార్ధాల నిష్పత్తి = r1 : r2 = 2 : 1
B, C వృత్త వ్యాసార్ధాల నిష్పత్తి = r1 : r2 : r3 = 4 : 2 : 1
A, B, C వృత్త వ్యాసార్ధాల నిష్పత్తి
సమాధానం: 4
4. ఒక చతురస్ర కర్ణంపై సమబాహు త్రిభుజాన్ని
నిర్మించారు. అయితే ఆ సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యానికి, చతురస్ర వైశాల్యానికి
మధ్య ఉన్న నిష్పత్తి ఎంత?
5. పటంలో ∆ABC ఒక త్రిభుజం. D, నిలు వరుసగా AB, ACల మధ్య బిందువులు. పటంలో షేడ్‌ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యం మొత్తం త్రిభుజ వైశాల్యంలో ఎంత శాతం?
1) 50% 2) 60% 3) 75% 4) 25%
6. ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజంలోని సమాన భుజాల పొడవు, 3వ భుజం పొడవు మధ్య ఉన్న నిష్పత్తి 3 : 4. దాని వైశాల్యం 8√5 చ.యూ. అయితే ఆ త్రిభుజ భుజాల్లో అతి చిన్న భుజం పొడవు ఎంత? (యూనిట్లలో)
1) 3 2) 2√5 3) 6 4) 12
సాధన: ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజంలో సమాన భుజాల పొడవు, 3వ భుజం పొడవు మధ్య ఉన్న నిష్పత్తి = 3 : 4
అతిచిన్న భుజం పొడవు = 3 x = 3 × 2 = యూ.
సమాధానం: 3
7. ఒక చతురస్రంలో ఒక వృత్తం అంతర్లిఖించి ఉంది. చతురస్ర వైశాల్యం 2m2 చ.యూ. అయితే ఆ వృత్త వైశాల్యం ఎంత? (చ.యూ.)
సాధన: ఒక చతురస్రంలో వృత్తం అంతర్లిఖించి ఉంటే చతురస్ర భుజం (s) = 2 × వృత్త వ్యాసార్ధం (r)
⇒ s = 2r
8. 4 సెం.మీ., 6 సెం.మీ, 8 సెం.మీ. వ్యాసార్ధాలుగా ఉన్న మూడు వృత్తాలు ఒకదాన్ని మరొకటి బాహ్యంగా స్పృశించుకున్నాయి. ఆ మూడు వృత్తకేంద్రాలను కలిపితే ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత? (చ.సెం.మీ.లలో)
1) 12√6 2) 18√6 3) 24√6 4) 32√6
సాధన: మూడు వృత్తాల వ్యాసార్ధాలు వరుసగా r1 = 4 సెం.మీ., r2 = 6 సెం.మీ., r3 = 8 సెం.మీ.
మూడు వృత్తాల కేంద్రాలు వరుసగా = A, B, C
AB = r1 + r2 = 4 + 6 = 10 సెం.మీ.
BC = r2 + r3 = 6 + 8 = 14 సెం.మీ.
CA = r3 + r1 = 8 + 4 = 12 సెం.మీ.
a = 14 సెం.మీ., b = 12 సెం.మీ., c = 10 సెం.మీ.
సంక్షిప్త పద్ధతి:
a, b, c యూనిట్ల వ్యాసార్ధాలు ఉన్న మూడు వృత్తాలు ఒకదాన్ని మరొకటి బాహ్యంగా స్పృశించుకుంటే వాటి వృత్త కేంద్రాలతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం
a = 4 సెం.మీ. b = 6 సెం.మీ. c = 8 సెం.మీ.
9. ఒక లంబకోణ త్రిభుజ భుజాలు మూడు వరుస పూర్ణసంఖ్యలు. అయితే ఆ త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత? (చ.యూ.లలో)
1) 9 2) 8 3) 5 4) 6
సాధన: లంబకోణ త్రిభుజ భుజాలు a, b, c (c = కర్ణం) అయితే a2 + b2 = c2 అవ్వాలి.
a, b, c లు వరుస పూర్ణసంఖ్యలు కాబట్టి 32 + 42 = 52
a = 3 యూ. b = 4 యూ., c = 5 యూ.
లంబకోణ త్రిభుజంలో లంబకోణం కలిగిన భుజాలు
a = 3 యూ., b = 4 యూ.
కర్ణం (c) = 5 యూ.
లంబకోణ త్రిభుజ వైశాల్యం
= 1/2 లంబకోణం కలిగిన భుజాల లబ్ధం
= 1/2 x a x b
= 1/2 x 3 x 4 = 6 చ.యూ.
సమాధానం: 4
అభ్యాస ప్రశ్నలు
1. ఒక సమబాహు త్రిభుజ భుజం పొడవు 8 సెం.మీ. అయితే ఆ త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత? (చ.సెం.మీ.లలో)
1) 8√3 2) 16√3 3) 24√3 4) 48√3
2. 3 సెం.మీ., 4 సెం.మీ., 5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధాలు గల మూడు వృత్తాలు ఒకదాన్ని మరొకటి బాహ్యంగా స్పృశించుకుంటే ఆ వృత్తకేంద్రాలు శీర్షాలుగా ఉన్న త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత? (చ.సెం.మీ.లలో)
1) 12√5 2) 24√5 3) 18√5 4) 20√5
3. ఒక చతురస్రాన్ని వృత్తంలో అంతర్లిఖించారు. ఆ చతురస్ర వైశాల్యం 49 చ.సెం.మీ. అయితే, ఆ వృత్త వైశాల్యం ఎంత? (చ.సెం.మీ.లలో)
1) 98 2) 70 3) 35 4) 77
4. ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో రెండు భుజాలు ప్రధాన సంఖ్యలు, వాటి మధ్య భేదం 50 అయితే, ఆ త్రిభుజ వైశాల్యమెంత? (చ.యూ.లలో)
1) 360 2) 660 3) 330 4) 430
సమాధానాలు: 1-2, 2-1, 3-4, 4-3.