కొంత నిర్దిష్ట దూరాన్ని ప్రయాణించడానికి వివిధ రవాణా
సాధనాలకు పట్టే కాలాల్లో తేడా ఉంటుంది. వాటి వేగాల్లో తేడా వల్ల, వేగం
తగ్గితే ప్రయాణించే కాలం పెరుగుతుంది. వేగం పెరిగితే ప్రయాణ కాలం
తగ్గుతుంది.
దూరం: ఒక నిర్దిష్టకాలంలో ఒక వస్తువు లేదా రవాణా సాధనం ప్రయాణించే మార్గం మొత్తం పొడవును 'దూరం' అంటాం. దీన్ని 'd' తో సూచిస్తాం.
వేగం: ఒక సెకను కాలంలో వస్తువు ప్రయాణించే దూరాన్ని ఆ వస్తువు వేగం అంటాం. దాన్ని 's' తో సూచిస్తాం.
సూత్రాలు:
* వేగం = దూరం / కాలం
* కాలం = దూరం / వేగం
* దూరం = వేగం × కాలం
* వేగాన్ని కి.మీ./గం. నుంచి మీ./సె.కు మార్చాలంటే 5/18 తో గుణించాలి . X కి.మీ./ గం.( X * 5/18 ) మీ./సె.
* వేగాన్ని మీ./సె. నుంచి కి.మీ./గం.కు మార్చాలంటే 18/5 తో గుణించాలి. X కి.మీ./ గం ( X * 18/5 ) మీ./సె.
* ఒకేదిశలో రెండు వస్తువులు ప్రయాణం చేసేటప్పుడు వాటి సాపేక్ష వేగం =
వాటి వేగాల భేదం. ఒకే దిశలో ప్రయాణిస్తున్న రెండు వస్తువుల వేగాలు v1 , v2 లు అయితే వాటి సాపేక్షవేగం V అయితే
V = v1 - v2 ( v1 > v2 ).
* పై రెండు దిశల్లో అవి కలుసుకోవడానికి పట్టేకాలం
* ఒక వస్తువు కొంత నిర్దిష్ట దూరాన్ని x కి.మీ./గం. వేగంతో, తిరుగు
ప్రయాణంలో ఆ దూరాన్ని y వ కి.మీ./గం.వేగంతో ప్రయాణిస్తే పూర్తి ప్రయాణంలో ఆ
వస్తువు సరాసరి వేగం
V = 2XY / X + Y
* గంటకు 50 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తున్న ఒక రైలు 125 కి.మీ. దూరం ప్రయాణించడానికి పట్టే కాలమెంత?
సాధన: వేగం = 50 కి.మీ./గం దూరం = 125 కి.మీ.
* గంటకు 92.4 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తున్న రైలు 10 నిమిషాల్లో ప్రయాణించే దూరం మీటర్లలో ?
సాధన: రైలు వేగం = 92.4 కి.మీ./గం.
= (92.4 * 5/18) మీ./సె.
= 77/3 మీ./సె.
కాలం = 10 నిమిషాలు = 10 60 = 600 సెకన్లు 10 నిమిషాల్లో అంటే ( 10 60 ) సెకన్లలో రైలు ప్రయాణించే దూరం = వేగం కాలం
= 77/3 * 10 * 60) మీ.
= 15400 మీ.
* ఒక బాలుడు స్కూలుకు గంటకు 3 కి.మీ.
వేగంతో వెళ్లి తిరుగు ప్రయాణంలోగంటకు 4 కి.మీ. వేగంతో వస్తాడు. ఆ మొత్తం
ప్రయాణానికి పట్టేకాలం 7 గంటలైతే అతడి స్కూలుకు, ఊరికి మధ్య ఉన్న దూరమెంత ?
సాధన: సరాసరి వేగం
=2V1V2 / V1 + V2 = (2 * 3 * 4) / 7 = 24/7 కి.మీ/గం.
మొత్తం దూరం = సరాసరి వేగం * కాలం
= 24/7 * 7 కి.మీ. = 24 కి.మీ.
* ఒక వ్యక్తి మొదటి 300 కి.మీ.లను 30 కి.మీ.ల
వేగంతో, ఆ తరువాత 400 కి.మీ.లను గంటకు 100 కి.మీ.ల వేగంతో ప్రయాణిస్తే అతడి
ప్రయాణ సగటు వేగం ఎంత?
సాధన: దూరం D1 = 300 కి.మీ.
వేగం S1 = 30 కి.మీ/గం.
దూరం D2 = 400కి.మీ. వేగం S2 = 100 కి.మీ./గం
పై సమస్యలో దూరాలు వేర్వేరు కాబట్టి
* ఒకరైలు ఇంజిన్ చక్రాల పరిధి
మీ. అది 7 భ్రమణాలు చేయడానికి 4 సెకన్లు తీసుకుంటే ఆ రైలు వేగాన్ని కి.మీ/గం.లో తెలపండి.
సాధన: చక్రం పరిధి =మీటర్లు = 30/7 మీటర్లు ఒక భ్రమణానికి 30/7 మీ. ప్రయాణించింది.
కాబట్టి 7 భ్రమణాలకు 7 * 30/7 = 30 మీటర్లు ప్రయాణించింది.
కాలం = 4 సెకన్లు
* ఒక వ్యక్తి తన ఇంటి నుంచి ఆఫీసుకు స్కూటర్‌పై గంటకు 30 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తే 10 నిమిషాలు ఆలస్యంగా చేరుకుంటాడు. గంటకు 40 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తే 5 నిమిషాలు ముందు చేరుకుంటాడు. అయితే ఆఫీసుకు ఇంటికి మధ్య ఉన్న దూరమెంత ?
సాధన: ఆఫీసుకు ఇంటికి ఉన్న దూరం x కి.మీ. అనుకుంటే, గంటకు 30 కి.మీ. వేగంతో x కి.మీ. ప్రయాణించడానికి పట్టేకాలం x/40 గంటలు
కాలాల మధ్య వ్యత్యాసం = 15 నిమిషాలు
= 15/60 గంటలు = 1/4 గంటలు
∴ x/30 - 1/4, x = 30 కి.మీ
Short cut Method:
* ఒక వ్యక్తి గంటకు 12 కి.మీ. వేగంతో నడుస్తున్నాడు.
ప్రతి కి.మీ.కు 12 నిమిషాలు ఆగుతున్నాడు. అతడు 36 కి.మీ.లు ప్రయాణించడానికి
పట్టే సమయమెంత?
సాధన: వ్యక్తి వేగం = 12 కి.మీ./గం.
దూరం = 36 కి.మీ.
కానీ ప్రతి కి.మీ.కు 12 నిమిషాలు విరామం అంటే 12/60 గంటలు అవుతుంది.
విరామ సమయం = 35 * 12/60 = 7 గంటలు
మొత్తం కాలం = ( 3 + 7 ) = 10 గంటలు
* గంటకు 25 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణించే ఒక రైలు ఉదయం 9
గంటలకు ఢిల్లీ నుంచి బయలుదేరింది. మరో రైలు గంటకు 35 కి.మీ. వేగంతో
ప్రయాణిస్తూ మధ్యాహ్నం 2 గంటలకు అదే దిశలో బయలుదేరితే, బయలు దేరిన స్థానం
నుంచి ఎన్ని కి.మీ. దూరంలో అవి రెండూ కలుసుకుంటాయి?
సాధన: రెండు రైళ్లు కలుసుకునే దూరం = x కి.మీ. అనుకుంటే మొదటి రైలు x కి.మీ. ప్రయాణం చేయడానికి
పట్టేకాలం = x/25 గంటలు రెండో రైలు x కి.మీ. ప్రయాణం చేయడానికి పట్టేకాలం = x/35 గంటలు కాలాల మధ్య వ్యత్యాసం
x/25 - x/35 = 2 మధ్యాహ్నం - 9 రాత్రి = 5 గంటలు
x/25 - x/35 = 5
రెండు రైళ్లు బయలుదేరిన స్థానం నుంచి 
తర్వాత ఒకదానినొకటి కలుసుకుంటాయి.
Shortcut : 
* A, B అనే వ్యక్తులు P అనే స్థలం నుంచి గంటకు 4
కి.మీ., 5 కి.మీ. వేగంతో బయలుదేరారు. వారిద్దరూ ఒకే దిశలో ప్రయాణిస్తే 4
గంటల తర్వాత వారిద్దరి మధ్య దూరమెంత?
సాధన: A వేగం = 4 కి.మీ/గం. B వేగం = 5 కి.మీ./గం.
A, B ల సాపేక్ష వేగం = 5 - 4 = 1 కి.మీ./గం.
4 గంటల తర్వాత వారిమధ్య
దూరం = వేగం * కాలం
= 1 * 4 = 4 కి.మీ
¤ 900 కి.మీ. పొడవున్న ఒక రోడ్డు మీద ప్రతి 10 కి.మీ.కు ఒక మొక్క నాటాలని ఒక స్వచ్ఛంద సంస్థ ప్రతినిధులు భావిస్తే కావలసిన మొక్కల సంఖ్య ఎంత?
¤ ఒక కోతి 14 మీటర్లు పొడవున్న ఒక స్తంభాన్ని
ఎక్కడానికి ప్రయత్నించే క్రమంలో ప్రతి నిమిషానికి 2 మీటర్లు ఎక్కి, 1 మీటరు
జారిపోతుంది. ఆ స్తంభం చివరకు చేరుకోవడానికి ఎంత సమయం పడుతుంది?
సాధన: ప్రతి 2 నిమిషాలకు 2 మీటర్లు ఎక్కి, 1 మీటరు జారిపోతుంది కాబట్టి ప్రతి 2 నిమిషాలకు 1 మీటరు ఎక్కుతుంది.
12 మీటర్లకు 12 * 2 = 24 నిమిషాలు పడుతుంది. చివరి 2 మీటర్లకు 1 నిమిషం తీసుకుని స్తంభం చివరకు చేరుకుంటుంది. కాబట్టి
14 మీటర్ల పొడవున్న ఒక స్తంభం చివరకు చేరుకునేందుకు పట్టేకాలం = ( 24 + 1 ) = 25 నిమిషాలు
¤ A, B అనే వ్యక్తులు గంటకు 20 కి.మీ., 30 కి.మీ. వేగాలతో 400 కి.మీ.దూరంప్రయాణించారు. తీ ముందుగా గమ్యస్థానాన్ని చేరుకుని మళ్లీ తి ని కలిస్తే, ప్రారంభ స్థలం నుంచి తి ను కలుసుకున్న దూరం ఎంత?
¤ ఒక కారు కొంత నిర్దిష్ట దూరాన్ని 10 గంటల్లో
ప్రయాణించింది. మొదటి సగం దూరాన్ని గంటకు 21 కి.మీ. వేగంతో, తర్వాత సగం
దూరాన్ని గంటకు 24 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తే మొత్తం దూరమెంత?
సాధన: దూరం = x కి.మీ అనుకుంటే x/2 కి.మీ. దూరాన్ని గంటకు 21 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తే
