నిష్పత్తి-అనుపాతం

*ఒకే ప్రమాణాలున్న రాశులను భాగాహారం చేసి పొలిస్తే వచ్చే ఫలితాన్ని ఆ రాశుల నిష్పత్తి అంటారు.
*a,b లు 2 వస్తువులు అయిన వాటి మద్య నిష్పత్తి a:b లేదా $\frac{a}{b}$ గా సూచిస్తారు.
*నిష్పత్తి a:b లో a ని పుర్వపదం అని b ని పరపదం అని అంటారు.
*a:b యొక్క విలోమ నిష్పత్తి =b:a
*a:b:c యొక్క విలోమ నిష్పత్తి $=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}$
*a:b,c:d,e:f ల యొక్క బహుళ నిష్పతి $=\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}\times \frac{e}{f}$
*అనుపాతం: 2 నిష్పత్తుల యొక్క సమానత్వాన్ని అనుపాతం అంటారు.
*a:b=c:d అయినా ad=bc అగును దీనినె అనుపాతనియమం అంటారు.ad లను అంత్యపదాలు మరియు bc లను మద్యపదాలు అంటారు.
*4వ అనుపాతం: a:b=c:d అయినా d ని 4 వ అనుపాతం అంటారు $d=\frac{bc}{a}$
*3 వ అనుపాతం: a:b=b:c అయినా c ని 3 వ అనుపాతం అంటారు $c=\frac{b^2}{a}$
*మద్య అనుపాతం:a:b=b:c అయినా b ని మద్య అనుపాతం అంటారు $b=\sqrt{a\times c}$
*a:b యొక్క వర్గ నిష్పత్తి = $a^2:b^2$
*a:bయొక్క వర్గమూల నిష్పత్తి = $\sqrt{a}:\sqrt{b}$
*a:b యొక్క ఘన నిష్పత్తి =a³b³

Q. 36 గంటలకు, 2 రోజులకు గల నిష్పత్తి ఎంత?

A.  2 రోజులు = 2 × 24 గంటలు
         = 48 గంటలు
  కావాల్సిన నిష్పత్తి = 36 : 48
         = 3 : 4

Q. A:B:C = 2:3:4 అయితే $\frac{A}{B}:\frac{B}{C}:\frac{C}{A}$ విలువ ఎంత?

A.  $\frac{A}{B}:\frac{B}{C}:\frac{C}{A}=\frac{2}{3}:\frac{3}{4}:\frac{4}{2}$
  2,3,4 ల క.సా.గు. 12 కాబట్టి నిష్పత్తిలోని మూడు పదాలను 12 తో గుణిస్తే,
    ⇒ $\frac{2}{3}\times 12:\frac{3}{4}\times 12:\frac{4}{2}\times 12$
    ⇒ 8 : 9 : 24
   సమధానం = 8 : 9 : 24

Q. x : y = 3 : 4 అయితే (4x+5y) : (5x -2y) విలువ ఎంత?

A.    x: y = 3 : 4 కాబట్టి,
   x = 3k,
   y = 4k అనుకోవచ్చు.
   ⇒ (4x+5y) : (5x -2y)
   ⇒ $\frac{4x+5y}{5x-2y}$
   ⇒ $\frac{4\times 3k+5\times 4k}{5\times 3k-2\times 4k}$
   ⇒ $\frac{32k}{7k}$ = $\frac{32}{7}$
   సమధానం = $\frac{32}{7}$

Q. a:b=2:3,b:c=4:5 అయిన a:b:c?

A. a:b 2:3
   b:c 4:5
   ⇒ ab:bb:bc ⇒ 8:12:15

Q. a:b=5:7, c:b=3:4 అయిన a:b:c?

A. a:b 5:7
   b:c 3:4
   ⇒ ab:bb:bc ⇒ 5×3:7×3:7×4
         ⇒ 15:21:28

Q. a=2b,b=3c అయిన a:b:c ఎంత?

A.  $\frac{a}{b}=\frac{2}{1}$
   $\frac{b}{c}=\frac{3}{1}$
   ⇒a:b=2:1   2:1
  ⇒b:c=3:1   3:1=6:3:1

Q. 3x=5y,y=2z అయిన x:y:z?

A.  $\frac{x}{y}=\frac{5}{3},\frac{y}{z}=\frac{2}{1}$
   ⇒x:y = 5:3
   ⇒y:z = 2:1
   ⇒ 10:6:3
    or
     5:3
     2:1=10:6:3

Q. a:b=2:3,b:c=6:5 అయిన a:c?

A.  2:3
    6:5=12:18:15
   ⇒ a=12,b=18,c=15
   ⇒ a:c=12:15
   ⇒ a:c=4:5

Q. a:b=2:3,b:c=3:4,c:d=2:1 అయిన a:b:c:d ?

A.  2:3
    3:4
     2:1 ⇒ 12:18:24:12
      ⇒2:3:4:2
    or
    a:b
      b:c
        c:d ⇒ abc:bcc:bcc:bcd
         =12:18:24:12
         =2:3:4:2

Q. a:12=3:4 అయిన a విలువ ఎంత ?

A.  a×4=12×3
  ⇒ 4a=36
  ⇒a=$\frac{36}{4}$
  ⇒ a=9

Q. 6,8,9 ల యొక్క 4 వ అనుపాతం ఎంత?

A.  a:b=c:d ⇒d=$\frac{bc}{a}$
  ⇒d=8×$\frac{9}{6}$
  ⇒ d=12

Q. 4,6 ల యొక్క 3 వ అనుపాతం ఎంత ?

A.  a:b=b:c ⇒ $c=\frac{b^2}{a}$
   $c=\frac{6^2}{4}$
  = $\frac{36}{4}$
  = 9

Q. 8,18 ల యొక్క మద్య అనుపాతం ఎంత?

A.  a:b=b:c   ⇒ b=$\sqrt{a\times c}$
   =$\sqrt{8\times 18}$
  =$\sqrt{144}$
   =12

Q. 2,3 ల యొక్క విలోమ నిష్పత్తి ?

A.  a:b=2:3
   b:a=3:2

Q. 3,4,6 ల యొక్క విలోమ నిష్పత్తి ?

A.  $\frac{1}{3}:\frac{1}{4}:\frac{1}{6}$
   = 4×1:3×1:2×1 ల కా.సా.గు 12
   =4:3:2

Q. 3:5,10:9,5:4 ల యొక్క బహుళ నిష్పత్తి ఎంత ?

A.  $\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}\times \frac{e}{f}$=$\frac{3}{5}\times \frac{10}{9}\times \frac{5}{4}$
   =$\frac{5}{6}$
  =5:6

Q. 3:5 నిష్పత్తి లో పూర్వపదం 24 అయిన పర పద ఎంత?

A.  3:5 పూర్వ=3,పర=5
   ⇒ 3→24
   5→? $\frac{5}{3}$×24=40

Q. 5:8 నిష్పత్తి లో పర పదం 104 అయిన పూర్వపదం ఎంత?

A.  5:8 , పూర్వపదం =5,పర పదం=8
  ⇒8→104
   5→? $\frac{5}{8}$×104=65

Q. ఒక తరగతిలో విద్యార్ధుల సంఖ్య 60,బాలురు,బాలికల మద్య నిష్పత్తి 3:2 అయిన బాలుర సంఖ్య ఎంత?

A. 3:2 ⇒ 3+2 = 5 బాగాల మొత్తం →60 కావున
  బాలుర సంఖ్య= $\frac{3}{5}$×60=36
 బాలికల సంఖ్య=$\frac{2}{5}$×60=24

Q. 120 kg ల బరువు కల్గిన మిశ్రమంలో రాగి మరియు జింక్ ల మధ్య నిష్పత్తి 5:3 అయిన రాగి బరువు?

A.  5:3 మొత్తం బాగాలు 8
  8 బాగాలు120 కావున
   రాగి బరువు=$\frac{5}{8}$×120=75kg

Q. ఒక పట్టణం లో ఓటర్ల సంఖ్య 7500, ఇద్దరి మద్య ఓటింగ్ జరిగెను వారు పొందిన ఓట్ల మద్య నిష్పత్తి 16:9 అయిన గెలిచిన వ్యక్తి ఎన్ని ఓట్లు మెజారిటి పొందెను?

A.  16:9 లో మొత్తం బాగాలు 25
వారి ఇద్దరిమద్య ఓట్ల తేడా నిష్పత్తి =16-9=7
 కావున మెజారిటీ=$\frac{7}{25}$×7500=2100

Q. ఒక తరగతిలో బాలురు,బాలికల మద్య నిష్పత్తి 3:5 బాలుర సంఖ్య 24 అయిన మొత్తం విద్యార్ధుల సంఖ్య?

A.   3→24 కావున
    8→?
  మొత్తం విద్యార్ధుల సంఖ్య=$\frac{8}{3}$×24=64

Q. 750 రూ.లను A,B,C లకు 7:5:3 నిష్పత్తి లో పంచెను అయినా C వాటా?

A. మొత్తం బాగాలు = 7+5+3=15
  15→750 కావున
  3→?
   C వాటా=$\frac{3}{15}$×750 =150

Q. 240 రూ.లను A,B లకు పంచవలెను A వాటా B వాటాకి 3 రెట్లు అయినా A వాటా ఎంత?

A.  A:B
  3:1
   A వాటా =$\frac{3}{4}$×240=180

Q. 1200 రూ.A,B,C లకు పంచవలెను A వాటా B వాటా కి రెట్టింపు మరియు B వాటా C వాటా కి 3 రెట్లు అయినా A వాటా ఏంత?

A. A:B B:C
   2:1 3:1
  2:1
   3:1
   =6:3:1
   A వాటా = $\frac{6}{10}$×1200 =720

Q. ఒక రైతు వద్ద కొన్ని కోళ్ళు మరియు ఆవులు కలవు తలకాయల సంఖ్య 100,కాళ్ళ సంఖ్య 280 అయిన ఎన్ని కోళ్ళు కలవు.

A.  తలకాయల సంఖ్య 100 కావున
   కోళ్ళ కాళ్ళ సంఖ్య =100×2=200
   ⇒280-200=80
  ఆవులు కాళ్ళ సంఖ్య =100×4 =400
   ⇒280-400=120
  ⇒ 80:120
   40:60 ⇒60:40
  కోళ్ళు సంఖ్య=40

     OR

    200   400
      \   /
      280
      /   \
     120   80
     60   40
   ఆవుల సంఖ్య=60
   కోళ్ళ సంఖ్య=40

Q. ఒక వ్యాపారి వద్ద 2 రకాల గోధుమలు కిలో 12రూ.,20 రూ.ధర కల్గివున్నవి,వాటిని ఏ నిష్పత్తిలో కలిపినా 18 రు. ధర కల్గిన మిశ్రమం లభించెను

A.     12 20
       \ /
      18
      / \
      2 6
      =2:6
      =1:3     ⇒ కలపవలసిన నిష్పత్తి=1:3

Q. 100మందికి 30 రోజులకు సరిపడే ఆహరం కలదు 10 రోజుల తర్వాత 20 మంది వెళ్ళిపోయెను.మిగిలిన ఆహరం వారికి ఎన్ని రోజులు వచ్చును.

A. 10 రోజుల తర్వాత 20 మంది వెళ్ళిపోగా 80 మిగిలినారు
  100×20=80×x
     x=$\frac{2000}{80}$
     x=25